lunes, 24 de mayo de 2010

Continuidad en funciones de variables complejas

CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

Por función compleja de variable compleja, entendemos una función cuyo dominio es un subconjunto de C y los valores que toma están en C.
Es decir, f: A ⊆ C −→ C. Asociadas a f aparecen las funciones reales de variable compleja,
u(z) = _e f (z), v(z) = _m f (z).
Identificando C con R2, las funciones u y v pueden ser vistas como funciones de dos variables reales que toman valores en R y, así, es muy frecuente escribir f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy ∈ A.
Es decir, tener una función compleja de variable compleja es tener dos funciones reales de dos variables reales.
Los conceptos de límite y continuidad de funciones son totalmente análogos a los ya conocidos para R, así como sus propiedades.

Números complejos

Estos sólo intervienen el módulo, que tiene las mismas propiedades tanto en R como en C.
Sea f: A ⊆ C −→ C y sea z0 ∈ C un punto de acumulación de A. Es decir, D (z0; ε) ∩ (A \ {z0}) = ∅, ∀ε > 0
(Nótese que el punto z0 puede pertenecer al dominio A o no).
Diremos que
Lim
A_z→z0
f (z) = α ∈ C
Si (por definición)
∀ε > 0, ∃δ > 0 _ (0 < z − z0 < δ ∧ z ∈ A) ⇒ f (z) − α < ε.
Como C es un espacio métrico, esta definición (ε, δ) es equivalente a la definición por sucesiones. Es decir, ∀ (zn) ⊂ A \ {z0} _ zn → z0 ⇒ f (zn) → α.
Con las notaciones anteriores, diremos que f es continua en z0 ∈ A s ∃
lim
A_z→z0
f(z) = f (z0).
Nótese que en este caso z0 debe estar en el dominio de la función.

Propiedades

Las propiedades de los límites y funciones continúas (con demostraciones análogas a la de R) se pueden resumir en los siguientes apartados.
Sean f, g: _ ⊆ C −→ C y z0 ∈ _ tal que
lim
z→z0
f (z) = α, lim
z→z0
g(z) = β.

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