Funciones analíticas. Integrales en el plano complejo

Publicación valida para los ejercicios 7,4,10 de la guía 2. y 2, 9,11 de la guía 3.
Para resolver los ejercicios de la primera guía, se llevaron a cabo algunos procedimientos necesarios para su correcta resolución.

Se dice que una función es analítica cuando se cumple el límite z cuando tiende a Zo, es una función derivable en este punto, es decir, es continua, y cumple con la ecuación de difrencial parcial de Cauchy-Riemann, estas indican que sus derivadas parciales cruzadas entre sí deben ser iguales.

Si la función f(z) es derivable en el punto Zo= Xo+iYo entonces deben de verificar las condiciones antes mencionadas:

u_x(x₀,y₀) = v_y(x₀,y₀) v_x(x₀,y₀) = − u_y(x₀,y₀)

donde u_{x es la derivada parcail de la función u, respecto a la variable x.}

Este método también puede lograrse mediante la segunda ecuación, donde se deriva parcialmente en función de cara variable separando los reales de los imaginarios.

En el caso del ejericicio 2.4 (4), donde nos piden decir si las funciones son biunivocas, se puede decir que cada elemento del primer conjunto se corresponde con un solo elemento del segundo conjunto, y cada elemento del segundo conjunto se corresponde con solo un elemento del primer conjunto.
Un ejemplo:
si f(x)= 3x+2
según la def. f(a)=f(b)
3a=3b se divide entre 3 a=b y así se comprueba si es biunívoca

Ahora estudiamos la guía 3, integración en el plano complejo.
Donde debemos conocer el teorema de Cauchy-Goursat, sea f(z) una función analítica en una región R y en su contorno C. Es decir, es una integral lineal, donde se evaluan en los puntos de la curva cerrada C, en dicha región.

Este teorema se extiende y se hace conocer como teorema de Morera, donde cumple la misma integral, con la excepción de que la es una función continua simplemente conexa en R. Osea esta puede ser varias curvas irregulares entre si, mientras mantengan una especie de unión por así llamarlo...esten conjuntas.
Formula Integral de Cauchy-Goursat

Formula Integral de Cauchy

Continuidad en funciones de variables complejas

CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

Por función compleja de variable compleja, entendemos una función cuyo dominio es un subconjunto de C y los valores que toma están en C.
Es decir, f: A ⊆ C −→ C. Asociadas a f aparecen las funciones reales de variable compleja,
u(z) = _e f (z), v(z) = _m f (z).
Identificando C con R2, las funciones u y v pueden ser vistas como funciones de dos variables reales que toman valores en R y, así, es muy frecuente escribir f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy ∈ A.
Es decir, tener una función compleja de variable compleja es tener dos funciones reales de dos variables reales.
Los conceptos de límite y continuidad de funciones son totalmente análogos a los ya conocidos para R, así como sus propiedades.

Números complejos

Estos sólo intervienen el módulo, que tiene las mismas propiedades tanto en R como en C.
Sea f: A ⊆ C −→ C y sea z0 ∈ C un punto de acumulación de A. Es decir, D (z0; ε) ∩ (A \ {z0}) = ∅, ∀ε > 0
(Nótese que el punto z0 puede pertenecer al dominio A o no).
Diremos que
Lim
A_z→z0
f (z) = α ∈ C
Si (por definición)
∀ε > 0, ∃δ > 0 _ (0 < z − z0 < δ ∧ z ∈ A) ⇒ f (z) − α < ε.
Como C es un espacio métrico, esta definición (ε, δ) es equivalente a la definición por sucesiones. Es decir, ∀ (zn) ⊂ A \ {z0} _ zn → z0 ⇒ f (zn) → α.
Con las notaciones anteriores, diremos que f es continua en z0 ∈ A s ∃
lim
A_z→z0
f(z) = f (z0).
Nótese que en este caso z0 debe estar en el dominio de la función.

Propiedades

Las propiedades de los límites y funciones continúas (con demostraciones análogas a la de R) se pueden resumir en los siguientes apartados.
Sean f, g: _ ⊆ C −→ C y z0 ∈ _ tal que
lim
z→z0
f (z) = α, lim
z→z0
g(z) = β.

Aplicaciones de los números complejos

Ilustración del plano complejo

¿Qué son los números complejos?

Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de los números negativos. Así se abre la puerta a un curioso al sorprendente mundo en el que todas las operaciones (salvo dividir entre 0) son posibles.
La importancia de los números complejos está marcada por sus múltiples aplicaciones en diversas Áreas (Matemáticas, Física, Ingeniería, Tecnología, ...)

Definición

Los Números Complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios, cosa que con los reales no era posible.
Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso de una unidad imaginaria llamada número i, que verifica la propiedad:
i2 = − 1
Esta unidad imaginaria es de hecho la que permite definir las operaciones con esos números, puesto que para efectuarlas hay que tener presente que cada lado de esa unidad imaginaria debe trabajarse en forma independiente, no confundiendo, por decirlo de alguna forma, las peras y las manzanas.

La representación binomial de un número complejo se escribe como z = a+ ib donde a es la parte real de un número complejo, y b es la parte imaginaria.

Se expresa así:

a = Re (z)

b = Im (z)

Plano de los números complejos

Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los números complejos.

Cada número complejo sería un punto en ese plano. Usando las definiciones que siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división entre estos puntos.
Definiremos cada complejo como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), que verifican las siguientes propiedades:

1. 
   
   
   
   (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
   (a, b) • (c, d) = (ac - bd, bc + ad).



2. 
   
   
   
   Tal como los hemos definido, los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

Aplicaciones de los números complejos

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma: f(t) = z eiωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas.

Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.
El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ).
En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.
En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitual encontrar primero las raíces (en general complejas) del polinomio característico, lo que permite expresar la solución general del sistema en términos de funciones de base de la forma:

Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los define a través de cálculos con números complejos en el plano.