CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
Por función compleja de variable compleja, entendemos una función cuyo dominio es un subconjunto de C y los valores que toma están en C.
Es decir, f: A ⊆ C −→ C. Asociadas a f aparecen las funciones reales de variable compleja,
u(z) = _e f (z), v(z) = _m f (z).
Identificando C con R2, las funciones u y v pueden ser vistas como funciones de dos variables reales que toman valores en R y, así, es muy frecuente escribir f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy ∈ A.
Es decir, tener una función compleja de variable compleja es tener dos funciones reales de dos variables reales.
Los conceptos de límite y continuidad de funciones son totalmente análogos a los ya conocidos para R, así como sus propiedades.
Números complejos
Estos sólo intervienen el módulo, que tiene las mismas propiedades tanto en R como en C.
Sea f: A ⊆ C −→ C y sea z0 ∈ C un punto de acumulación de A. Es decir, D (z0; ε) ∩ (A \ {z0}) = ∅, ∀ε > 0
(Nótese que el punto z0 puede pertenecer al dominio A o no).
Diremos que
Lim
A_z→z0
f (z) = α ∈ C
Si (por definición)
∀ε > 0, ∃δ > 0 _ (0 < z − z0 < δ ∧ z ∈ A) ⇒ f (z) − α < ε.
Como C es un espacio métrico, esta definición (ε, δ) es equivalente a la definición por sucesiones. Es decir, ∀ (zn) ⊂ A \ {z0} _ zn → z0 ⇒ f (zn) → α.
Con las notaciones anteriores, diremos que f es continua en z0 ∈ A s ∃
lim
A_z→z0
f(z) = f (z0).
Nótese que en este caso z0 debe estar en el dominio de la función.
Propiedades
Las propiedades de los límites y funciones continúas (con demostraciones análogas a la de R) se pueden resumir en los siguientes apartados.
Sean f, g: _ ⊆ C −→ C y z0 ∈ _ tal que
lim
z→z0
f (z) = α, lim
z→z0
g(z) = β.
