Powered By Blogger

jueves, 24 de junio de 2010

Funciones analíticas. Integrales en el plano complejo

Publicación valida para los ejercicios 7,4,10 de la guía 2. y 2, 9,11 de la guía 3.
Para resolver los ejercicios de la primera guía, se llevaron a cabo algunos procedimientos necesarios para su correcta resolución.
Se dice que una función es analítica cuando se cumple el límite z cuando tiende a Zo, es una función derivable en este punto, es decir, es continua, y cumple con la ecuación de difrencial parcial de Cauchy-Riemann, estas indican que sus derivadas parciales cruzadas entre sí deben ser iguales.
Si la función f(z) es derivable en el punto Zo= Xo+iYo entonces deben de verificar las condiciones antes mencionadas:
ux(x0,y0) = vy(x0,y0)
vx(x0,y0) = − uy(x0,y0)
donde ux es la derivada parcail de la función u, respecto a la variable x.
Este método también puede lograrse mediante la segunda ecuación, donde se deriva parcialmente en función de cara variable separando los reales de los imaginarios.

En el caso del ejericicio 2.4 (4), donde nos piden decir si las funciones son biunivocas, se puede decir que cada elemento del primer conjunto se corresponde con un solo elemento del segundo conjunto, y cada elemento del segundo conjunto se corresponde con solo un elemento del primer conjunto.
Un ejemplo:
si f(x)= 3x+2
según la def. f(a)=f(b)
3a=3b se divide entre 3 a=b y así se comprueba si es biunívoca

Ahora estudiamos la guía 3, integración en el plano complejo.
Donde debemos conocer el teorema de Cauchy-Goursat, sea f(z) una función analítica en una región R y en su contorno C. Es decir, es una integral lineal, donde se evaluan en los puntos de la curva cerrada C, en dicha región.
Este teorema se extiende y se hace conocer como teorema de Morera, donde cumple la misma integral, con la excepción de que la es una función continua simplemente conexa en R. Osea esta puede ser varias curvas irregulares entre si, mientras mantengan una especie de unión por así llamarlo...esten conjuntas.
Formula Integral de Cauchy-Goursat


Formula Integral de Cauchy